Вариации на тему Эшера

Кандидат физико-математических наук С. Табачников («Квант» № 12, 1990 г.)

Постоянные читатели «Кванта», вероятно, обращали внимание на репродукции работ замечательного голландского художника М. Эшера, которые время от времени публикуются в журнале. Жизнь Эшера, как часто пишут в биографиях выдающихся людей, была небогата событиями. Морис Корнелиус Эшер родился в городе Лееварден в 1898 году…

В школе Эшер учился неважно (еще одна характерная деталь биографии знаменитого человека!); лучше всего давалось ему рисование. Его отец, инженер-гидравлик, хотел, чтобы сын получил солидную профессию; и в 1919 году Эшер поступает в Гаарлемское училище архитектуры и декоративного искусства. В 1922 году, проучившись в училище два года, Эшер переезжает в Италию, где он прожил 13 лет.

Каждое лето он путешествует по Южной Италии или Испании. Летние впечатления служили материалом для гравюр, над которыми он работал зимой. К середине тридцатых годов политический климат в Италии стал нетерпимым. В 1935 году девятилетнего сына Эшера обязали носить форму юного фашиста; это послужило толчком к решению семьи переехать в Швейцарию. Холодная снежная Швейцария действовала на Эшера угнетающе. Он обратился в морскую компанию, совершавшую грузовые перевозки по Средиземному морю, с просьбой разрешить ему путешествовать на ее судах с оплатой гравюрами, выполненными в пути. Удивительно, но предложение было принято. Это было последнее большое путешествие Эшера. После этого он больше не нуждался во внешних впечатлениях для творчества.

С 1941 года Эшер постоянно живет в Голландии. Всемирная известность пришла к нему в 1951 году после публикаций сразу в трех популярных журналах: «The Studio», «Time» и «Life». В 1954 году в Амстердаме состоялась большая выставка Эшера, приуроченная к Международному математическому конгрессу. Математики сразу признали «своего» художника; с этого времени его рисунки — неизменный атрибут физико-математических изданий («Квант» публиковал Эшера более 20 раз). Слава мало изменила образ жизни художника, который настойчиво продолжал работать. Умер он 27 марта 1971 года.

Обратимся теперь к теме «Эшер и математика». Как я уже говорил, математики любят Эшера. Комментаторы обычно объясняют, как достигается тот или иной неожиданный эффект в его работах. Часто это — хороший повод рассказать о математических теориях. Например, орнаменты Эшера — прекрасная иллюстрация к теории кристаллографических групп.

Сам Эшер плохо знал математику. Однажды известный геометр Г. Кокстер пригласил Эшера на свою лекцию, посвященную математическому содержанию его гравюр и литографий. К взаимному разочарованию, Эшер не понял почти ни слова из того, о чем рассказывал Кокстер. Вот что писал об этом сам художник:

«Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Представьте себе, эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я абсолютно безграмотен».

В этих словах, наверное, есть доля преувеличения. Все же мне кажется, что творчество Эшера интересно математикам не только потому, что в его работах можно обнаружить отголоски конкретных математических результатов. Скорее они вызывают ассоциации с общими математическими идеями. Платон считал, что абстрактные идеи живут отдельно в «мире чистых сущностей» (таковы идеи пространства и времени). Думаю, что в таком, платоновском понимании мир Эшера и мир математики — близкие соседи. Попробую проиллюстрировать этот тезис.

Посмотрите на литографии «Бельведер», «Водопад» и «Поднимаясь и опускаясь». В каждой из них что-то не так… Лестница, по которой поднимается юноша, — внутри или снаружи беседки находится она? Вода все время течет вниз — и бесконечно движется по кругу. А монахи идут по замкнутой лестнице: одни все время вверх, а другие — вниз (кстати, бессмысленную работу голландцы называют «монашеский труд»). Каждый небольшой фрагмент этих работ безупречно изображает реальность, но в целом эти фрагменты складываются в невозможные объекты.

Но ведь нечто похожее бывает и в математике! Например, окружность и прямая: «в малом», или как говорят в математике, локально, устроены одинаково (если разрешить изгибание), но «в целом» — глобально — совершенно различны. Выбросьте из прямой точку и она распадется на два куска; окружность же останется связной. Или знаменитая лента Мебиуса: в малом ее не отличить от бумажного кольца, но после обхода вы оказываетесь на ее противоположной стороне. Один из главных предметов исследования в топологии — это такие объекты, которые локально устроены одинаково, а глобально — по-разному.

Обратите внимание на каркас куба в левом нижнем углу «Бельведера». Конечно же, это — невозможный объект! Английский математик Роджер Пенроуз опубликовал в 1958 году в психологическом журнале изображение другого невозможного объекта — «треугольника Пенроуза». Этот рисунок Эшер использовал при работе над «Водопадом». (Целое «созвездие» невозможных объектов вы увидите на обложке «Кванта» № 2 за 1979 год, а как получить их фотографии, рассказано в № 5 за 1971 год.)

Для того чтобы обсудить другие общие математические идеи, с которыми у меня ассоциируются работы Эшера, я предлагаю вам такую задачу. На столе лежит карта города, а на ней (строго внутри) — еще одна карта этого города, но меньшего масштаба. Нужно доказать, что найдется такое место в городе, изображение которого на обеих картах совпадает.

Задача решается так. Построим отображение f большей карты в себя. Возьмем любую ее точку, А и найдем на меньшей карте точку В, изображающую то же место в городе, которому отвечает точка А. Точка большей карты, лежащая под точкой В,- это и есть точка f(A). Пусть М обозначает большую карту. f(M) лежит внутри М. f(f(M)) — внутри f(M), f(f(f(M))) — внутри f(f(M)) и т. д. В пределе получается единственная точка — изображение одного и того же места на обеих картах.

Хорошо известен также орнамент «Меньше и меньше». Этот орнамент напоминает задачу о карте. Здесь тоже масштаб уменьшается к центру, который служит неподвижной точкой всего хоровода ящериц. На орнаменте «Круговой предел» ситуация обратная — масштаб уменьшается к периферии рисунка (о связи этого орнамента с инверсией и так называемой модулярной фигурой вы можете прочитать в статье «Геометрия круга», «Квант» № 6 за 1977 год). Наконец, на последней работе Эшера «Змеи» масштаб уменьшается как к центру, так и к граничной окружности.

Идея неподвижной точки — одна из основных в математике. Что отображение, уменьшающее масштаб, имеет единственную неподвижную точку — ясно из решения задачи о картах (кстати, почему точка единственная?). В действительности, неподвижную точку имеет любое непрерывное отображение круга (или шара) в себя — это знаменитая теорема Брауэра.

В задаче о картах присутствует еще одна общая идея — идея взаимодействия объекта и обозначающего его знака (объект — большая карта, знак — меньшая). Совмещение предмета и его изображения вы видите на литографиях «Встреча», «Рисующие руки», «Рептилии». Рисунок на каждой из них покидает плоскость и превращается в реальное трехмерное тело, а затем снова возвращается в плоскость.

Следующая задача внешне совсем не похожа на задачу о картах, но в основе ее решения лежит та же идея взаимодействия объекта и знака. Рассмотрим последовательность из нулей и единиц; первая цифра — нуль, а затем последовательность строится по правилу: к уже построенному куску приписывается справа кусок такой же длины с заменой всех нулей на единицы, а единиц — на нули (как если бы в этом месте стояло зеркало). Вот первые члены этой последовательности (она называется последовательностью Морса):

М= 0110100110010110…

Требуется доказать, что эта последовательность непериодическая.

Будем писать 0* вместо пары 01 и 1* — вместо 10. С помощью этих символов наша последовательность записывается точно так же, как раньше:

М* = 0*1*1*0*1*0*0*1*…

Предположим, что М имеет период. Ясно, что М содержит примерно поровну нулей и единиц (скажем, в каждом начальном отрезке длиной 2* их точно поровну). Если бы период имел нечетную длину, то в нем или единиц, или нулей было бы больше, а тогда в М одних цифр становилось бы все больше и больше, чем других. Итак, если период есть, то его длина четна.

Но тогда можно считать, что М состоит из предпериода четной длины и минимального периода длины 2n. Значит, и предпериод, и период можно записать с помощью символов 0* и 1*; период будет состоять из 71 знаков 0* и 1*. А теперь внимание: уберем звездочки у цифр — последовательность от этого не изменится. Следовательно, М имеет период и длины n, что противоречит его минимальности.

Не правда ли, это напоминает решение задачи о картах? М — аналог большой карты, М* — карты меньшего масштаба (или так: М — исходный объект, М* — обозначающий его знак, совпадающий к тому же с самим М). Продумайте эту аналогию, а заодно попытайтесь догадаться, как определить значение n-го члена последовательности Морса по его номеру (подсказка: запишите n в двоичной системе счисления).

Неосторожное совмещение объекта и знака может приводить к парадоксам типа:

то, что написано на этой строке, неверно.

Самый известный пример такого рода — это знаменитая теорема Геделя о неполноте арифметики. Речь идет о том, всякое ли истинное арифметическое утверждение может быть формально доказано, т. е. выведено из аксиом арифметики по законам логики (которые тоже описываются аксиомами). Представьте себе, что удалось построить формулу, которая утверждает собственную недоказуемость. Если эта формула ложна, значит она доказуема, а доказуемые утверждения истинны. Следовательно, она истинна, а стало быть, недоказуема! Итак, если на языке арифметики можно построить такую формулу, то арифметика окажется неполной: в ней есть истинные, но недоказуемые утверждения.

Именно это и удалось сделать австрийскому логику Курту Геделю. Для построения нужной формулы он присваивает всем формулам и их последовательностям номера, по которым формулы однозначно восстанавливаются (вот проявление идеи объекта и знака: формулы — объекты, геделевские номера — знаки). Свойство формулы быть доказуемой оказывается распознаваемым по ее номеру. После этого Гедель конструирует формулу, выражающую свою собственную недоказуемость. Конечно, это очень приблизительное описание работы Геделя (рекомендую по этому поводу замечательную книгу Ю. И. Манина «Доказуемое и недоказуемое», М.: Радио, 1979). На английском языке есть книга Д. Хофстадтера «Гедель, Эшер, Бах», посвященная теореме Геделя и иллюстрированная репродукциями Эшера. Теорема Геделя произвела в начале 30-х годов эффект разорвавшейся бомбы, заставив математиков отказаться от веры во всемогущество аксиоматического метода.

Пожалуй, из всех работ Эшера лучше всего известны его орнаменты, т. е. периодические заполнения плоскости одинаковыми фигурами. Во время путешествия в Испанию Эшер старательно изучал и зарисовывал орнаменты в Альгамбре, выполненные в период мавританского владычества. В искусстве орнамента арабские мастера достигли совершенства. Ислам запрещает изображение человека, животных, рыб и птиц (в соответствии с заповедью: «Не сотвори кумира!»), поэтому мусульманские орнаменты составлены из абстрактных геометрических фигур. Эшера очень занимала задача составления орнаментов, использующих в качестве повторяющихся элементов реальные изображения. О результатах, которых ему удалось достичь, вы можете судить сами.

Орнаменты Эшера, конечно, отвечают важной математической идее периодичности Не меньшее значение в современной математике и физике играет понятие квазипериодичности. Можно доказать, что не существует периодических замощений плоскости, имеющих симметрию пятого порядка. А квазипериодические замощения, т. е. такие, в которых каждый конечный фрагмент повторяется бесконечное число раз, существуют. В 1974 году их открыл упоминавшийся выше Р. Пенроуз, а через десять лет были получены квазикристаллы — материалы нового типа, имеющие такую симметрию. Кстати, последовательность Морса обладает свойством квазипериодичности. Не сомневаюсь, что если бы Эшер дожил до открытия квазипериодических замощений, он создал бы ряд ярких работ, использующих эту идею.

Закончу разговор о творчестве М. Эшера его словами:

«Если бы вы только знали, какие видения посещают меня в ночной тьме… Иногда моя неспособность сделать их зримыми буквально сводит меня с ума. По сравнению с этими мыслями каждая отдельная гравюра или рисунок — это полная неудача, только мельчайшая частица необъятного целого».